§3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) *

§3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) *

^ §3. Миноры и их алгебраические дополнения
Всякий определитель n-го порядка можно выразить через определитель низшего порядка. Для этого введем последующие определения.

Определение 1. Минором Мij элемента аij определителя



именуется таковой определитель, который выходит из данного вычеркиванием строчки §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * и столбца, на скрещении которых находится данный элемент.

К примеру, минор М элемента а определителя 4-ого порядка будет определитель третьего порядка , который выходит вычеркиванием первого столбца и третьей строчки, на скрещении которых §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * находится элемент a.

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента именуется его минор, взятый с определенным знаком, согласно правилу: если сумма номеров столбца и строчки, на скрещении которых стоит элемент, есть четное число §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) *, то минор берется со своим знаком, если нечётное число – с обратным знаком.

Алгебраическое дополнение элемента aij мы будем обозначать через Аij, либо Аij = (-1)i+j · Mij.

К примеру, найдём алгебраическое дополнение §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * а32 предшествующего определителя.

Минор .

Отсюда .

Аксиома (без подтверждения). Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех частей случайной строчки либо столбца на их алгебраические дополнения.

Данная аксиома позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * вычислению нескольких определителей (n-1)-го порядка.

Если в определителе n-го порядка некие элементы равны нулю, то вычислять надлежащие миноры нет необходимости. Потому полезно данный определитель так конвертировать, используя свойство 8, чтоб в §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * строке либо в столбце определителя оказалось как можно больше нулей. Вычислить определитель.

.

Вычислим этот определитель методом разложения его по элементам 2-ой строчки.

Δ = аА + аА + аА + аА = А+ А 2А=

= –


Вычислим каждый определитель §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * в отдельности



Δ1=


Δ2 = = – (–35 – 28) = 63.

Δ3 = = (20 + 1) = 21.

Вторую строчку помножили на 3 и сложили с первой.

Беря во внимание знаки, стоящие перед определителями, получим:

Δ = Δ1 + Δ2 + Δ3 = –3 – 63 + 2 · 21 = –24.
^ §4. Оборотная матрица
К определению оборотной матрицы можно придти по аналогии оборотного числа. Если а §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * – действительное число, то а-1 будет оборотное к нему. Произведение: а·а-1=1.

Аналогично, если А – ровная матрица, то А-1 будет оборотной матрицей. Их произведение А · А-1 = Е, т. е. равно единичной матрице.

Пусть §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * – матрица n-го порядка.

Матрица, приобретенная из данной методом подмены ее строк столбцами, именуется транспонированной.

.


Оборотная матрица рассчитывается по формулам:



, где |A| определитель матрицы А.

Заметим, что оборотная матрица только тогда существует, когда §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * ее определитель отличен от нуля.

Пример 1. Отыскать матрицу, оборотную к данной

.

Решение

Вычислим определитель матрицы

.

Находим алгебраические дополнения

.

.

Проверка: .

Пример 2. Решить систему уравнений



Решение

Находим .

Определяем алгебраические дополнения матрицы

:

.

Тогда .

.

Как следует,

Пример 3. Отыскать оборотную матрицу §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * к матрице

.

^ Решение

Найдем определитель матрицы A:

,

как следует, оборотная матрица существует.

Алгебраическими дополнениями частей матрицы А будут:

;

;

;

;

;

;

;

;

.


Тогда . Проверим:



.

Разглядим случай вычисления оборотной матрицы, который не подразумевает вычисления определителя матрицы и алгебраических дополнений частей этой §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * матрицы.

Пусть дается матричное уравнение вида:

A·, где (1)

Умножим обе части уравнения (1) на А-1 ,тогда:

, если ^ А-1 существует.

Как следует, если в системе (1) переменные х, y и z выражены §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * в очевидном виде через a, b и c и записаны в матричной форме, то приводящая к решению этой системы матрица равна А. Воспроизведем этот процесс стопроцентно.

Пусть дана система уравнений в виде §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) *:



Разделим обе части первого уравнения на 2, потом умножим обе части приобретенного уравнения на 3 и вычтем из второго, умножим обе части этого уравнения на 5 и вычтем из третьего. В итоге получим



Разделим 2-ое уравнение системы на 1,5, а §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * потом умножим обе части этого уравнения на 3,5 и вычтем из третьего, т. е.

x + 2,5y + 3,5z = 0,5a,

y + 3z = ,

z =.

Выразив значения переменных x, y, z через свободные члены, получим:



,

.

Либо §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * в матричной форме

,

Как следует, .

Найдем произведение

.

Как следует, оборотная матрица найдена, правильно.

В предстоящем при помощи оборотной матрицы будем решать матричные уравнения.

Пример 4. В таблице приведены данные, характеризующие число деталей, нужных для производства §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * игрушек.



Наименование деталей

Тип игрушки

1

2

3

1. Колесо

5

2

8

2. Ось

4

3

1

3. Корпус

1

2

1


Записать в матричной форме зависимость меж числом деталей и количеством игрушек.
^ Решение
Общее число деталей может быть выражено в виде последующей системы уравнений:



где yi – общее число §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * деталей, xj – число игрушек (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).

В матричной форме эти уравнения запишутся:



либо y = А · х, где

, , .

Пример 5. Решить матричным способом систему уравнений.



Решение

Введем обозначения

, , .

Тогда данная система запишется равенством

АX = В, решением которой будет А-1 · А §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * · Х = А-1 · В либо Х = А-1 · В.

Найдем матрицу оборотную матрице А.

За ранее вычислим определитель матрицы А.

.

Как следует, оборотная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А




















Оборотная матрица запишется §3. Миноры и их алгебраические дополнения - Пояснительная записка (размещается в архиве с материалом) Автор материала (фио) * в виде:

, тогда

либо




3-obrazovatelnaya-deyatelnost-akademii-utverzhden.html
3-obshaya-harakteristika-napravleniya-podgotovki000000-zarubezhnoe-regionovedenie.html
3-obshie-instrukcii-k-rabote-so-snovideniyami-issledovanie-snovidenij.html