3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика

3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика

^ 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ.

Разбиение области на подобласти представляет собой 1-ый шаг на пути к решению задачки, и конкретно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство разбиения области находится в зависимости от имеющихся инженерных 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика способностей. Нехорошее либо неидеальное разбиение будет приводить к неверным результатам, если даже другие этапы способа осуществляются с достаточной точностью.

Дискретизация области (тела) включает задание числа, раз­меров и формы подобластей, которые употребляются 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика для построения дискретной модели реального тела. Как инженеры мы сталки­ваемся при всем этом с достаточно пикантной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть выбраны довольно малыми, чтоб выходили применимые результаты, а 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика с другой стороны, приме­нение довольно больших частей уменьшает вычислительную работу. Необходимо иметь некие общие суждения об оконча­тельных значениях, с тем, чтоб можно было уменьшить размеры частей в тех областях, где ожидаемый 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика итог может очень очень изменяться (огромные величины градиентов), и прирастить их там, где ожидаемый итог практически постоянен.

Способности в дискретизации области приходят с опытом. Но некие общие правила можно сконструировать. Эти правила 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика и некие советы относительно дискретизации и дискуссируются в этой главе. [18]

^ 3.1Типы конечных частей.
П
Рис. 3
ростейшим посреди частей является одномерный элемент. Схе­матически он обычно изображается в виде отрезка, хотя и имеет 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но в почти всех встречающихся задачках она считается неизменной. Более нередко таковой элемент употребляется в одномерных задачках распространения тепла и в 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика задачахстроительной механики при расчете стержневых частей конструкций (типа ферм). [6]

Простой одномерный элемент имеет два узла, по одному на каждом конце. Элементы более высочайшего порядка, трехузловые (квадратичные) и четырехузловые (кубические). Одномерный элемент 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика может быть криволинейным при условии, что длина дуги заходит в уравнения, оп­ределяющие элементы.

^ 3.2Разбиение области на элементы. Симплекс-элемент.
Процесс дискретизации может быть разбит на два шага: разбиение тела на элементы и нумерация частей 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика и узлов. Послед­ний шаг логически совсем прост, но усложняется в связи с нашим желанием повысить эффективность вычислений.

Дискретизация одномерного тела практически элементарна, потому что она сводится только к делению 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика отрезка на более недлинные участки. При решении задач способом конечных частей употребляются различные элементы. Линейный одномерный элемент с 2-мя узлами относится к группе симплекс-элементов. [1]

Способ конечных частей основан на идее 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещения и т. д.) дискретной моделью, которая строится на огромном количестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, именуемых элементами. В качестве функции эле­мента в 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика большинстве случаев применяется полином. Порядок полинома за­висит от числа применяемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции.

Систематизация конечных частей может быть проведена в согласовании с порядком полиномиальных функций этих 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика частей. При всем этом рассматриваются три последующие группы частей: Симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы. Симплекс-элементам соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены. Число коэффициентов в таком полиноме на единицу больше размерности координатного места. Полином 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика представляет собой симплексную функцию для двумерного треугольного элемента. Этот полином линеен по х и у и содержит три коэффициента, так как треугольник имеет три узла.

(3.1)

Симплекс-элемент представляет собой прямоли­нейный 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика отрезок длины L с 2-мя узлами, по одному на каждом конце отрезка. Узлы обозначаются индексами i и j, узловые значения — через и соответственно.

Начало системы координат размещается вне элемента. Полиномиальная функция для 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика скалярной величины1 имеет вид

. (3.2)

Коэффициенты и могут быть определены при помощи усло­вий в узловых точках:

при ,

при .

Эти узловые условия приводят к системе 2-ух уравнений

,

,

решение которой дает

3.3)

и

(3.4)

Подставляя отысканные значения и в 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика формулу (3.3), полу­чаем для выражение, которое может быть переписано в виде

. (3.5)

Линейные функции от х в формуле (3.5) именуются функци­ями формы либо интерполяционными функциями. Эти функций везде обозначаются через N. Любая функция формы должна 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика быть снабжена нижним индексом для обозначения узла, к кото­рому она относится. Произвольную функцию формы будем обо­значать через . В соотношение (3.5) входят последующие функ­ции формы:

и .

Соотношение (3.5) может быть записано в матричном 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика виде

, (3.6)

где —матричная строчка и —вектор-столбец. Как видно из формулы (3.5), функция равна единице в узле с номером i и равна нулю в j-м узле. Аналогично функция равна нулю в i-м 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика узле и равна единице в узле с -но­мером j. Эти значения свойственны для функций формы. Они равны единице в одном определенном узле и обращаются в нуль во всех других узлах 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика. [1], [7]

^ Уравнения способа конечных частей: теория упругости.

Наша конечная цель — получить для узловых величин такие числовые значения, при которых соотношения для частей с ювелирной точностью аппроксимируют некий принципиальный физический параметр. В задачках 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика теории поля (перенос тепла, течение грунтовых вод, расчет магнитных полей и др.) минимизировался некий функ­ционал. Этот функционал обладает тем свойством, что неважно какая минимизирующая его функция удовлетворяет как начальным диф­ференциальным уравнениям 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика, так и граничным условиям. Окончательные результаты, как для задач теории поля, так и для задач теории упругости, представлены в виде поверхностных и больших интегралов, которые рассчитываются при рассмотрении определенных областей внедрения 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика. [14]

Решение задач теории упругости может быть проведено одним из 2-ух способов. При помощи первого способа решают дифферен­циальные уравнения с данными граничными критериями. 2-ой способ заключается в минимизации интегральной величины. Для решения задач 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика теории упругости способом конечных частей употребляется последний подход. Если задачка решается в пере­мещениях и на границе заданы их значения, то необходимо минимизи­ровать потенциальную энергию системы. Если задачка решается в напряжениях 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика с данными на границе усилиями, то необходимо минимизировать дополнительную работу системы. Принятая формулировка способа конечных частей подразумевает отыска­ние поля перемещений и тем связана с минимизацией по­тенциальной энергии системы при отыскании 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика, узловых значений вектора перемещений. После того как перемещения будут опре­делены, можно вычислить составляющие тензоров деформаций и напряжений. [14], [15]

Так как дальше мы будем воспользоваться формулировкой ме­тода конечных частей, связанной с минимизацией 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика возможной энергии, приведем тут аксиому о возможной энергии.

^ Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим гра­ничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потен­циальной анергии докладывают те перемещения, которые удовлетво­ряют уравнениям, равновесия 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика.

Принципиальное требование этой аксиомы заключается в том, что разыскиваемые пе­ремещения должны удовлетворять данным значениям на гра­нице.

Полная возможная энергия упругой системы может быть разбита на две части, одна из которых 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика соответствует энергия деформаций в теле, а другая определяется возможной энергией массовых сил и приложенных поверхностных сил. В соответ­ствии с этим запишем полную потенциальную энергию в виде

, (3.7)

где —энергия деформаций, a —возможная энергия 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика при­ложенных сил. Работа наружных сил обратна по знаку их возможной энергии:

. (3.8)

Из формул (3.7) и (3.8) получаем

. (3.9)

После разбиения области на элементы равенство (3.9) записыва­ется е виде суммы

. (3.10)


Общий случай.

Энергия деформации нескончаемо малого объема dV 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика дается формулой

, (3.11)

где —полная деформация, а —исходная деформация. Величина именуется плотностью энергии деформации, а полная энергия деформации выходит интегрированием этой величи­ны по объему тела:

. (3.12)

Вид векторных столбцов и находится в зависимости 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика от того, какая задачка решается. К примеру, для двумерного варианта плоской деформации эти вектор - столбцы имеют вид



и

.

В базе курса теории упругости лежат два принципиальных соот­ношения: закон Гука, который связывает составляющие тензоров напряжений и деформаций 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика, и соотношения связи меж дефор­мациями и перемещениями. Закон Гука в общей форме имеет вид

, (3.13)

где [D] содержит упругие константы материала. Соотношения связи меж деформациями и перемещениями записываются как

,

, , , (3.14)

где и 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика, и w — составляющие перемещений в направления коорди­натных осей х, у и z соответственно2. Эти составляющие перемещений были выражены в гл. 3 через узловые значения последующим образом:

. (3.15)

Тут [N] —матрица функций формы. При помощи 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика формул (3.14) можно выразить вектор деформации через узловые пе­ремещения {U}. Общая форма этих соотношений такая

. (3.16)

Тут [В] —матрица, получаемая дифференцировал нем надлежа­щим образом матрицы [N]. Фактические значения коэффициентов матрицы [В] зависят от 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика вида применяемого элемента и от типа рассматриваемой задачки. Потому четкое определение [В] будет отложено до рассмотрения определенных примеров. [30]

Энергия деформации отдельного элемента при помощи фор­мул (3.13) и (3.16) может быть записала в последующем 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика виде:

. (3.17)

Последнее слагаемое в (5.68) не находится в зависимости от узловых значений , потому оно не оказывает влияние на процесс минимизации и в последующих ссылках не будет приниматься во внимание. [30]

Работа, совершаемая наружными силами, может 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика быть разделе­на на три разные части: работа , совершаемая сосредото­ченными силами, работа , которая выходит в итоге деяния компонент напряжений на наружной стороне поверхности, работа , совершаемая массовыми силами.

Работу сосредоточенных сил просто 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика найти, если в каждой точке приложения сосредоточенной силы поместить узел. Работа сосредоточенной силы равна произведению величины этой силы на длину пути, нa котором эта сила действует. Таким макаром, работа отдельной силы 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика равна . Обозначая узловые силы че­рез {Р}, а узловые перемещения через {U}, совершенную работу можно записать в виде произведения матриц:

. (3.18)

Это определение подразумевает, что силы разложены на компонен­ты, параллельные компонентам перемещений. Эта 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика часть полной работы не заходит в сумму (3.2), потому что рассмотренные силы сосредоточены в узлах. [30], [34]

Работа больших сил χ, ỳ, £ дается формулой



где и, и w — составляющие вектора перемещений снутри элемента по осям х, у и 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика z соответственно. Интеграл тут нужен, потому что и, и вкупе с χ, ỳ и £ могут изменяться снутри эле­мента. Используя равенство (3.14), формулу (3.18) можно пере­писать в виде

. (3.19)

Работа поверхностных сил определяется последующим образом:

, (3.20)

где и 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика, и w — составляющие вектора перемещений, а рх, py и pz — составляющие вектора напряжений, параллельные координатным осям х, у и z.

Сопоставление формул (3.20) и (3.18) указывает, что они иден­тичны по форме. Потому

. (3.21)

Используя формулы (3.2), (3.10), (3.17), (3.19) и 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика (3.21), по­лучаем выражение для полной возможной энергии:

, (3.22)

Чтоб минимизировать величину П, продифференцируем выра­жение (3.22) по {U} в приравняем итог нулю. Эту операцию можно выполнить, используя дифференциальные соотношения Б1 и 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика Б2. В итоге будем иметь

. (3.23)

Интегралы в формуле (3.23) определяют для каждого элемен­та вектор нагрузки {f(e)} и матрицу жесткости , которые мож­но соединить последующим образом:

. (3.24)

В рассматри­ваемом случае — большой интеграл вида

, (3.25)

а 3 МКЭ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ - 1. 1 Биомеханика —сумма нескольких интегралов:

(3.26)

Матрица жесткости элемента (3.25) не содержит поверхностный интеграл, который встречается в задачках теории поля. [30]

Глобальная матрица жесткости [К] и глобальный вектор-стол­бец {F} в матричном уравнении

(3.27)

даются соотношениями

, (3.28)

. (3.29)


3-obshij-obzor-dvizheniya-tomskaya-guberniya-politicheskaya-programma-povstancev-chto-obedinyalo-povstancev-otricatelnie.html
3-obzor-steka-protokolov-tcpip-vdannom-kurse-izlozheni-teoreticheskie-osnovi-kriptografii-i-voprosi-setevoj-bezopasnosti.html
3-ocenka-filma-odinochnaya-kamera-pitok-institut-gosudarstvenno-konfessionalnih-otnoshenij-i-prava.html